MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 1
Đại học Cambridge
Khoa Toán
KỸ NĂNG
HỌC TOÁN
Tài liệu tham khảo cho sinh viên năm thứ nhất
http://www.maths.cam.ac.uk/.
1.Giới thiệu:
Bất kỳ ai khi đọc xong một cuốn sách giáo khoa Toán đều đồng ý rằng học
Toán hoàn toàn khác với việc học các môn khác. Và bất cứ ai khi đã ngồi nghe
một bài giảng Toán ở trường đại học cũng đều thấy rằng học Toán ở đại học
khác xa so với học Toán ở trường phổ thông. “Nặng nề” là từ luôn xuất hiện
trong đầu tôi mỗi khi tôi cố gắng miêu tả sự khác biệt giữa học Toán ở phổ thông
và đại học.
Một bài giảng ở đại học nặng hơn một bài học ở phổ thông bởi nếu thử so
sánh vài đặc điểm, bạn sẽ thấy khối lượng kiến thức cần tiếp thu ở đại học là
nặng hơn so với phổ thông vì ở đại học bạn phải học kiến thức của 1 tuần chỉ
trong 1 giờ; việc học cũng trở nên nặng nề hơn bởi 1 học kỳ ngắn hơn rất nhiều
(8 tuần có thể là một chuỗi ngày dài vô tận khi bạn mường tượng nó trong đầu
mình, nhưng tôi hứa với bạn là sau 8 tuần bạn sẽ tự hỏi cái gì đã xảy ra với thời
gian vậy nhỉ ?); các kỳ thi cũng nặng nề hơn bởi khi đó trong vài ngày bạn phải
MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 2
“đóng gói” công việc của một năm trong 4 tập giấy mà bạn phải mất chừng 3
tiếng để viết xong một tập.
Cuốn sách nhỏ này hướng tới đối tượng cụ thể là những sinh viên Toán
năm đầu, tức là, nó được viết cho chính các bạn đấy. Tôi hi vọng rằng nó sẽ giúp
bạn sử dụng thời gian của mình ở Cambridge một cách tối ưu.
Cuốn sách này cũng được viết dành cho những người học Toán. Những lời
khuyên mà chúng tôi đưa ra không những mang lại cho bạn sự thích thú mà đồng
thời chúng còn rất hữu ích cho bạn trong quá trình học Toán. Bản pdf của cuốn
sách này được cung cấp tại website
www.maths.cam.ac.uk/teaching/supervisors.html
Stephen Siklos,
Khoa Toán,
Cambridge.
2. Bài giảng:
Sự khác biệt lớn nhất giữa phổ thông và đại học là ở các bài giảng. Giảng
viên chỉ có 12 bài giảng mỗi tuần để cung cấp cho bạn những kiến thức “nguyên
liệu”, và bạn sẽ phải bận rộn trong suốt 156 giờ còn lại với số “nguyên liệu” đó.
Do đó, bạn phải tiếp thu lượng kiến thức này trong thời gian khá ngắn.
Theo đó, trong khi ở phổ thông bạn thường chắc chắn rằng mình hầu như
có thể hiểu hết những gì giáo viên nói với bạn bởi nó khá trực quan, nhưng khi ở
đại học, bạn phải đối mặt với một lượng lớn những ghi chép đầy hóc búa mà bạn
sẽ không bao giờ hiểu nếu bạn không làm việc với nó sau đó, thậm chí bạn sẽ
phải đọc từng hàng từng hàng một nếu cần. Thậm chí khi đó có một số phần của
khoá học mà bạn chỉ thực sự hiểu khi xem lại những kiến thức “nguyên liệu”.1
Tuy nhiên, việc cố gắng hiểu (càng nhiều càng tốt) những gì giảng viên
nói một cách trực quan theo khả năng của bạn cũng rất quan trọng. Ngoài việc
tiết kiệm thời gian về sau, bạn còn có thể nhớ được những phần giải thích quan
trọng và những điểm mấu chốt của vấn đề để hiểu chúng một cách thấu đáo. Vì
thế:
-Phải cố gắng tập trung cao độ. Chúng ta đều đã từng nghe nói rằng trong
một bài giảng Toán học, mọi thứ giảng viên viết trên bảng đều “chạy thẳng” vào
vở của sinh viên mà không qua bộ não của họ. Bạn nên làm mọi thứ trong khả
năng của mình để ngăn chặn điều đó xảy ra; ngồi gần phía trên để bạn có thể có
50 phút đầy căng thẳng với Toán học; đừng bao giờ để đầu óc nghĩ ngợi lung
tung; và hãy nhớ rằng sự tập trung có được là do sự tự ý thức và rèn luyện
thường xuyên.
1 Hãy đọc lại đoạn văn cuối cùng. Sẽ rất dễ chán nản nếu bạn không ho àn toàn hiểu đúng về thông điệp từ lời
khuyên này
MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 3
-Hãy hỏi những câu hỏi trong suốt bài giảng còn hơn là để thứ gì đó trôi
qua vô ích. Nếu giảng viên viết quá nhanh, quá khó đọc, hay đang nói quá nhỏ
và bạn không nghe thấy thì xu hướng chung là những người khác cũng gặp khó
khăn tương tự như bạn.
-Đừng lo lắng khi bạn nghĩ rằng câu hỏi của mình là một câu hỏi ngu
ngốc. Chín trong mười lần, hầu hết những người còn lại đều sẽ có ấn tượng
mạnh (với sự dũng cảm của bạn) và hầu hết trong số họ sẽ muốn biết câu trả lời
là gì. Và điều đó đơn giản chỉ là giảng viên đã mắc một số sai sót nhỏ.
-Hãy cố gắng thể hiện sự “trả lời” của bạn: hãy ngẩng lên khi bạn đã viết
xong và chuẩn bị sẵn sàng để tiếp tục (điều này giúp giảng viên điều chỉnh được
tốc độ của bài giảng); hãy nhìn với vẻ mặt lúng túng khi thực sự bạn đang lúng
túng (từ đó giảng viên sẽ biết chỗ nào cần giải thích rõ ràng hơn); hãy để một
chút rạng rỡ trên khuôn mặt khi bất chợt bạn nhận ra rằng điều gì đang diễn ra
(Bob Hope, một nhà viết truyện tiếu lâm người Mỹ, thường nói rằng ông ta thích
những thính giả người Anh bởi thậm chí ngay cả khi họ không cảm thấy buồn
cười với những câu chuyện của ông, họ vẫn gật đầu để thể hiện rằng họ hiểu nó).
Thói quen thông thường khi nghe một bài giảng là bạn viết chính xác
những gì giảng viên viết trên bảng hay trên máy chiếu. Đôi khi bạn nhận ra rằng
bạn có thể bổ sung một chút trong suốt bài giảng nhưng thường là sẽ không đủ
thời gian cho việc đó. Sau đây là một số chú ý quan trọng về những điều tưởng
như khá tầm thường :
-Viết số trang và số thứ tự bài giảng trên mỗi tờ; nếu bạn thả rơi vở của
mình hoặc đem nó để lẫn vào một đống hỗn độn những bản chép tương tự như
thế, bạn sẽ thấy các trang vở đó trông cũng giống như bao trang khác. Bạn sẽ cho
rằng đây dường như là một lời khuyên lố bịch, tầm thường. Vài năm trước đây,
khi xảy ra tình trạng thiếu nước trầm trọng, một uỷ ban về vấn đề nước đã đưa ra
một lời quảng cáo khuyên mọi người tắt vòi nước trong khi đang đánh răng. Mục
đích của nó không chỉ là để tiết kiệm nước mà còn để đặt mọi người luôn ở trong
suy nghĩ rằng làm việc gì cũng cần tiết kiệm hơn. Bạn cũng sẽ thấy rằng những
số trang của bạn sẽ giúp việc sắp xếp mọi thứ một cách có thứ tự trở nên dễ dàng
hơn và tiết kiệm được nhiều thời gian hơn.
-Để lề vở rộng. Bạn chắc chắn sẽ cần chú thích điều gì đó khi bạn ghi bài
sau đó.
-Sắp xếp những chú thích bài giảng và những kiến thức cơ bản theo một
thứ tự nhất định; điều đó sẽ giúp tiết kiệm thời gian khi bạn muốn xem lại.
Đây là bí quyết quan trọng nhất:
-Bạn sẽ tiết kiệm được vô khối thời gian nếu bạn nắm chắc một bài giảng
trước khi chuyển sang bài giảng tiếp theo.
Theo cách đó, bạn sẽ có thể tìm hiểu nhiều hơn từ những bài giảng và
chúng sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian khi bạn tiếp tục với những phần ghi bài
giảng sau này. Do đó bạn nên dành một khoảng thời gian mỗi ngày để làm việc
MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 4
với phần chi chép bài giảng của mình-không những chỉ là đọc mà còn phải làm
việc với chúng từng hàng từng hàng một. Điều này nói thì rất dễ nhưng làm thì
lại rất khó. Ngay khi bạn bị rơi lại phía sau thì việc bắt kịp trở lại đòi hỏi một sự
cố gắng rất lớn.
3.Buổi hướng dẫn (supervisions)2:
Trong một buổi hướng dẫn Toán học thường không có nhiều không gian
cho các cuộc thảo luận sôi nổi. Trên thực tế bất cứ một cuộc tranh luận nào cũng
là khó bởi ý kiến của bạn dường như không trở nên quan trọng lắm khi mà người
hướng dẫn biết tất cả các câu trả lời đúng (các câu trả lời này đã được các giảng
viên của họ trả lời thời họ còn đi học giống bạn bây giờ). Nhưng điều tôi muốn
đề cập ở trên là những bài giảng luôn có một vài sự tương tác nhất định; có rất
nhiều trường hợp như thế trong các bài giảng. Một phần trách nhiệm làm cho bài
giảng trở nên hứng thú và bổ ích nằm ở bạn. Hãy nhớ rằng hầu hết những người
hướng dẫn đều là con người; họ thích bạn nói với họ (ví dụ bằng cách đặt câu
hỏi) và thể hiện rằng bạn thấy hứng thú với những gì họ đang nói với bạn.
Thông thường, trong các buổi hướng dẫn Toán học, bạn ngồi cùng bàn với
người hướng dẫn của mình-người sẽ viết lời giải của bài tập hay giải thích về
một phần nào đó của Toán học trên giấy (chứ không phải trên bảng đen). Bạn
không nên cứ mải mê ghi chép; hãy để đầu óc của bạn được hoàn toàn thoải mái
để tập trung vào việc hiểu mọi thứ mà người hướng dẫn nói. Vào cuối buổi
hướng dẫn, bạn có thể lấy những gì người hướng dẫn đã viết và (tốt nhất) dùng
nó để chú giải,sửa chữa và hoàn chỉnh công việc của bạn trong buổi hướng dẫn
hay (tốt…nhì) chỉnh sửa nó cho phù hợp với công việc của bạn. Những người
2 Supervisions là một thuật ngữ chỉ các buổi hướng dẫn, đó là các buổi trò chuyện giữa một sinh viên hay một
nhóm nhỏ các sinh viên với giảng viên phụ trách môn học. Hình thức này phổ biến tại các trường đại học ở Anh,
đặc biệt là đại học Cambridge.
Một điều cuối cùng. Bạn có thể nghĩ rằng những gì giảng viên đang
nói với bạn giống như là đang nói trước một nhóm lớn.Nhưng thực tế
giảng viên lại xem đó như là một số lượng lớn các cá nhân hợp lại. Bạn
nên nói với giảng viên một cách cởi mở và lịch sự trong các cuộc trò
chuyện. Hãy giữ cách cư xử đó ngay cả khi giảng viên nói chuyện với bạn
với tư cách cá nhân. Đừng bao giờ, ví dụ như, dành thời gian của bài giảng
cho việc nói chuyện với người ngồi xung quanh hay ngồi đọc báo. Điều
này sẽ làm cho những người khác cũng như giảng viên bị xao lãng, và đó
chắc chắn là công thức của một bài giảng kém chất lượng. Và làm ơn hãy
nhớ tắt điện thoại di động của bạn trong buổi học, hay tốt hơn hết là để nó
trong phòng của bạn.
MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 5
bạn khác cùng tham gia buổi hướng dẫn có thể sử dụng những ghi chép đó sau
bạn hoặc sao chép chúng.
Nếu bạn không làm tốt các buổi hướng dẫn, bạn sẽ lãng phí một trong
những công cụ học tập quan trọng (và đắt giá) nhất mà Cambridge cung cấp cho
bạn. Bằng kinh nghiệm nhiều năm của mình, tôi đề nghị rằng để làm tốt nhất các
buổi hướng dẫn của mình, bạn nên:
-Mang phần ghi chép của bạn đến các buổi hướng dẫn, trước đó hãy đánh
dấu những phần bạn không theo kịp hay không hiểu.
-Nộp bài đúng giờ, để nó có thể được đánh giá kỹ lưỡng.
-Đánh dấu công việc của chính bạn : hãy ghi chú ở trên lề vở cạnh bất cứ
chỗ nào mà có một số bước bạn không chắc chắn hay bạn đã bỏ lỡ nó. Tôi không
nói cho bạn điều này chỉ để bạn thể hiện hay làm người hướng dẫn ưu ái đến
bạn, mặc dù nó sẽ làm cho cuộc sống của họ dễ dàng hơn, mà chính cách tự tiếp
cận bài học này sẽ chứng minh giá trị vô giá của nó khi kỳ thi đến gần;
-Hãy nói với người hướng dẫn của bạn (một cách thích hợp và lịch sự) bạn
muốn thầy hay cô ấy làm gì-nhớ rằng đôi khi người hướng dẫn có ít kinh nghiệm
về các buổi hướng dẫn hơn bạn, và họ sẽ rất hài lòng về lời khuyên của bạn;
-Hãy chắc chắn rằng người hướng dẫn của bạn viết đầy đủ trong mỗi ví dụ
để bạn có thể tự mình viết lại lời giải về sau;
-Hãy sẵn sàng một câu hỏi thông minh trong trường hợp người hướng dẫn
đang có thời gian rảnh.
-Hãy xem lại những gì bạn đã học được trong buổi hướng dẫn ngay khi có
thể, nhất là trong lúc chúng còn đang đọng lại trong đầu bạn.
-Và cuối cùng, đây là bí quyết quan trọng nhất : đừng lười biếng. Hãy nói
“Thật dễ dàng khi để những lời người hướng dẫn nói “thoảng qua” bạn một cách
nhẹ nhàng, và biết đâu về sau mọi thứ sẽ trở nên rõ ràng hơn” nếu bạn không
hiểu những gì người hướng dẫn làm.
4.Bản đánh giá hướng dẫn :
Vào cuối mỗi học kỳ, mỗi người hướng dẫn của bạn sẽ đưa ra một bản
đánh giá về bạn ở CamCORS3. Bản đánh giá này sau đó bạn có thể đọc ở chỗ
giáo viên chủ nhiệm của mình. Đây chỉ là một cách để đề phòng và kịp thời xử
lý trước những tình huống hoàn toàn không mong đợi có thể phát sinh từ một
bản đánh giá hoàn toàn hợp lý, thí dụ như sự lẫn lộn về việc sắp xếp tên, hay một
vài điều không may khác. Điều quan trọng là bạn cần được đọc những bản đánh
giá này, và nếu bạn không nhận được chúng, hãy hỏi giáo viên chủ nhiệm của
mình. Thông thường, mỗi sinh viên đều có những bản đánh giá này (bởi người
hướng dẫn sẽ không được trả lương cho đến khi họ đưa ra bản đánh giá) nhưng
trong một số trường hợp những đánh giá này sẽ đến tay bạn muộn, có thể giáo
3 Hệ thống đánh giá trực tuyến của tr ường Cambridge (Cambridge Colleges Online Reporting System). Giáo viên
chủ nhiệm của bạn sẽ giải thích về hệ thống n ày
MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 6
viên chủ nhiệm nhận được chúng trong khi họ không mong đợi và họ sẽ không
đưa ra nếu bạn không yêu cầu.
5.Chỉ dẫn cho những người hướng dẫn:
Nếu bạn muốn xem cách một buổi hướng dẫn diễn ra như thế nào từ “ khía
cạnh khác”, bạn có thể xem bản chỉ dẫn đầy đủ hơn dành cho những người
hướng dẫn tại
http://www.maths.cam.ac.uk/undergrad/documentation/supervisorsguide/text.pdf
6.Giải quyết vấn đề :
Bộ môn toán học là tất cả những gì thuộc về việc giải quyết các vấn đề và
cách duy nhất để kiểm tra hiểu biết của bạn về những kiến thức cơ bản là làm
việc thông qua các ví dụ. Ở trường, các vấn đề là hoàn toàn ngắn và những câu
trả lời cũng được đưa ra một cách ngắn gọn. Là một sinh viên chưa tốt nghiệp,
bạn sẽ cảm thấy các vấn đề này cần rất nhiều thời gian để giải quyết, thậm chí
ngay cả khi bạn biết chính xác những gì mà mình đang làm, để giải quyết mỗi
vấn đề có lẽ bạn phải dành ra một khoảng thời gian đáng kể và không ít trang
giấy A4 để hoàn tất (điều này có nghĩa là: ở mức độ nghiên cứu, giải quyết các
vấn đề phải mất nhiều tháng hoặc có thể là nhiều năm, thậm chí không thể tìm ra
cách giải quyết). Dưới đây là một vài suy nghĩ đối với việc giải quyết các vấn đề:
Nếu bạn không thể giải quyết được vấn đề hãy thử làm theo hướng dẫn
dưới đây một cách thứ tự:
 Hãy đọc lại câu hỏi để chắc chắn rằng bạn hiểu nó
muốn gì.
 Hãy đọc lại câu hỏi để tìm kiếm các gợi ý hay đầu mối
– cách mà nó được diễn đạt, hoặc cách mà một phép tính được viết,
hoặc cũng có thể là các thành phần khác có liên quan tới câu hỏi
(bạn có thể nghĩ rằng những người ra đề muốn làm khó bạn bằng
những câu hỏi hóc búa; nhưng không có gì có thể xa vời hiện thực.
Họ chỉ đang cố gắng hết sức để làm nó dễ dàng hơn đối với bạn
bằng cách cố chỉ dẫn cho bạn nên làm những gì).
 Đơn giản hóa những ký hiệu hay những câu lời trong
đề bài – ví dụ như bằng cách viết ra các phép toán hay các thành
phần của một véctơ một cách rõ ràng.
MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 7
 Hãy cố gắng hiểu những thứ mà bạn không hiểu là gì.
Ví dụ như tìm định nghĩa của các thuật ngữ - thường thì những điều
này sẽ mở ra những điều mới lạ trong tương lai.
Hãy chắc chắn rằng bạn hiểu rõ và đầy đủ các thuật ngữ được sử dụng trong phát biểu vấn đề
 Hãy tìm một vấn đề tương tự trong những ghi chú của
bạn hay trong một cuốn vở nào đó
Nhưng hãy chắc chắn rằng bạn đã hoàn toàn hiểu những ví dụ mà bạn đưa ra.
 Hãy viết ra những suy nghĩ của bạn – nói chung là hãy
cố gắng thể hiệ lý do chính xác tại sao bạn bị bế tắc.
Giải quyết các vấn đề : viết ra các ý tưởng của bạn..............
 Hãy tạm thời qua câu hỏi khác và quay trở lại sau đó.
 Hãy thử nghỉ giải lao một chút. Littlewood (phân biệt
nhà toán học trường Cambrigde và tác giả của cuốn sách giải trí
MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 8
Mathematicians Miscellany – tìm hiểu nó ở thư viện trường bạn,
hãy bỏ qua chương cuối nếu nó là phiên bản gần đây) thường làm
việc bảy ngày một tuần mãi cho tới khi một cuộc thí nghiệm cho
thấy rằng khi anh ta nghỉ ngơi vào các ngày chủ nhật thì những ý
tưởng mới thường xuất hiện vào những ngày thứ hai tuần tới.
 Hãy thử hỏi một người bạn (nhưng đảm bảo rằng tự
bản thân bạn vẫn nghĩ về nó, những người bạn không phải không
thể nhầm lẫn). Nhưng, hãy nhớ rằng những cách giải quyết của ai
đó (như người hướng dẫn, giáo viên hay một người bạn của bạn)
không thể giống hệt với cách giải quyết của chính bạn.
Nếu bạn đã bắt đầu mà những câu trả lời dường như vẫn chưa đến với bạn
thì hãy kiểm tra lại các biểu thức đại số. Đặc biệt là hãy chắc chắn rằng những
thứ bạn đã viết thỏa mãn những trường hợp đặc biệt. Ví dụ khi bạn viết log(1+x)
dưới dạng :
....
2 3
1
2 3
    x x
x
sau đó nếu kiểm tra nhanh ta sẽ thấy nó không đúng với x = 0; rõ ràng là số 1
không thể đặt ở đây.4
Bạn cũng nên chắc chắn rằng những gì bạn viết đều có nghĩa. For
example, in a problem which is dimensionally consistent,you cannot add x (with
dimensions length, say) to x2 or exp x (which itself does not make sense). Even
if there are no dimensions in the problem, it is often possible to mentally assign
dimensions and hence enable a quick check. (Ví dụ như trong một bài toán về
tính tương thích thứ nguyên,bạn không thể cộng thêm x (với độ dài thứ nguyên)
với x2 hoặc hàm mũ của x (bản thân nó không tạo thành thứ nguyên).Dù cho là
không có thứ nguyên trong bài toán,nó thường có thể suy nghĩ cho là thứ nguyên
và vì vậy khả năng kiểm tra là nhanh.
Hãy cẩn thận khi áp dụng những phương pháp quen thuộc với những đối
tượng lạ (rất dễ xảy ra khi bạn cảm thấy “khoái” vì nghĩ mình đi đúng hướng): ví
4 Một cách kiểm tra khác sẽ chỉ ra rằng với tất cả các số d ương x rất nhỏ, log của nó là một số dương (vì đối số
của nó lớn hơn 1) trong khi tổng đó lại âm, rõ ràng ở đây có điều gì đó sai.
Điều này thực sự quan trọng: Nếu bạn luôn coi lời giải của người
khác như là một thí dụ mẫu thì về sau bạn sẽ luôn luôn thiếu ý tưởng khi
giải quyết vấn đề, cách tốt nhất là bạn hãy cố gắng tự giải quyết. Thậm chí,
sau khi bạn đã cố gắng tự giải một bài toán và cuối cùng vẫn bế tắc, bạn có
thể xem lời giải của người hướng dẫn và tìm thấy nhiều gợi ý bổ ích thì
điều này vẫn tốt hơn việc bạn chỉ đơn giản là làm theo lời giải sẵn mà
không suy nghĩ nhiều.
MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 9
dụ khi làm việc với ma trận, thật dễ dàng để viết AB thay vì BA bởi trông AB dù
sao cũng dễ nhìn và đẹp mắt hơn ; hay việc giải phương trình vectơ ax = 1 bằng
cách chia cả hai vế cho a. Nếu phần tính toán của bạn có vẻ đúng thì hãy bỏ qua
những bước ở trên
Nếu bạn không bị mắc kẹt, thì hãy:
 Viết lời giải một cách chi tiết; sẽ là rất không tốt nếu bạn chỉ liếc
qua ví dụ và bỏ qua khi nó trông có vẻ dễ dàng.
 Hãy nhìn lại bạn đã làm những gì, hãy kiểm tra xem những lý luận
đã đúng chưa và đảm bảo rằng chúng đúng với một số trường hợp
đặc biệt bạn có thể nghĩ tới. Thật khó tin làm sao khi một chuỗi các
lý luận thiếu chính xác và những sai lầm đại số ngớ ngẩn lại cho ra
một kết quả đúng.
 Đảm bảo rằng bạn không áp dụng một cách thiếu suy nghĩ các công
cụ toán học mà bạn không hiểu rõ. 5
 Hãy cố gắng xem xét vấn đề trên một khoảng rộng hơn và chú ý đến
các điểm đặc biệt.
 Hãy đảm bảo rằng bạn thực sự hiểu không chỉ những gì bạn đã làm
mà còn hiểu vì sao bạn làm nó theo cách ấy mà không phải các cách
khác. Điều này đặc biệt quan trọng nếu bạn đã làm một ví dụ tương
tự trong phần ghi chép của mình (hoặc nếu bạn đã tìm thấy lời
khuyên từ một người bạn).
7. Các kỳ thi:
Các kỳ thi thường rất gay cấn. Trong các cuộc thi học sinh giỏi ở
Cambridge vào những năm cuối thế kỷ 19, các thí sinh dự thi phải ngồi thi
khoảng 36 giờ với những đề thi cực kỳ khó. Vào một năm của thầp niên 80, điểm
số cao nhất các thí sinh có thể đạt được là 33541 điểm và Wrangler – một sinh
viên năm cuối (người dẫn đầu danh sách) đã đạt được 16368 điểm, tức là gần
một nửa số điểm, và trung bình khoảng 8 điểm mỗi phút. Wooden Spoon (người
xếp hạng thấp nhất trong danh sách số người vượt qua kỳ thi) đạt được tổng số
điểm là 247.
Ngày nay, các cuộc thi được giảm bớt mức độ khó và ngày càng trở nên
thân thiện hơn, chủ yếu nhằm kiểm tra kiến thức của bạn trong quá trình bạn học
tập một khóa học hơn là khả năng giải quyết các vấn đề thật hóc búa. Tuy thế, đó
chỉ là kế hoạch chung. Điểm số tuyệt đối (hoặc cao hoặc thấp) cũng có thể xuất
5 Câu chuyện cười sau đây có thể như một lời lăng mạ đối với các nhà toán học cũng như các kỹ sư:
Một nhà toán học, một nhà vật lý và một kỹ sư tham gia vào một cuộc thi toán học, nhiệm vụ đầu tiên của họ là
phải chứng minh rằng tất cả các số lẻ đều l à số nguyên tố. Nhà toán học đưa ra một lý luận khá súc tích như sau :
“1 là số nguyên tố, 3 là số nguyên tố, 5 là số nguyên tố, 7 là số nguyên tố. Do đó, theo phương pháp quy nạp toán
học, tất cả các số lẻ là số nguyên tố”. Đến lượt nhà vật lý : “1 là số nguyên tố, 3 là số nguyên tố, 5 là số nguyên
tố, 7 là số nguyên tố, 11 là số nguyên tố, 13 là số nguyên tố, vậy, với thí nghiệm không hề có sai sót n ào,ta kết
luận tất cả các số lẻ đều là số nguyên tố”. Chứng minh trực tiếp nhất được đưa ra bởi người kỹ sư là : “1 là số
nguyên tố, 3 là số nguyên tố, 5 là số nguyên tố, 7 là số nguyên tố, 9 là số nguyên tố, 11 là số nguyên tố…”
MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 10
hiện trong các kỳ thi, điều này cũng đồng nghĩa với việc sử dụng những quân bài
bạn có theo một cách thuận lợi nhất là điều khá quan trọng để đạt điểm tối đa.
Và đây là một số ý kiến, có thể bạn đã từng nghe một vài lần trước đây,
nhưng điều đó không làm nó mất đi những giá trị vốn có. Các cuộc thi có thể có
nhiều cách để vượt qua, nhưng bạn sẽ thấy rằng để có được kĩ năng tốt trong thi
cử bạn phải quen với việc luôn chuẩn bị tốt và giữ một thói quen học tập tốt
trong suốt khóa học. (ví dụ hai lời khuyên đầu tiến sẽ có tác dụng tốt chỉ khi bạn
đã làm việc hiệu quả trong suốt học kỳ).
 Làm việc thông qua những ví dụ và nhớ đọc kỹ các phần liên
quan trong những ghi chép của bạn (chỉ đọc không là chưa đủ).
 Trong những phút chuẩn bị cuối cùng, hãy xem qua những
hướng dẫn để nhắc nhở chính bạn làm thế nào để đối phó với
những câu hỏi.
 Trong cuộc thi, trên tất thảy, hãy bình tĩnh – nếu nó làm khó
bạn thì chắc chắn nó cũng đang làm khó những người khác.
 Đừng bao giờ chỉ nhắm vào một câu hỏi, hãy đọc thật kỹ toàn
bộ bài thi và bát đầu với những gì bạn thấy chắc chắn nhất.
 Hãy phân tích chính xác nhất những điều bạn cần làm và cố
gắng hiểu được những gợi ý gián tiếp (một cách rõ ràng và
chính xác); nhớ phân biệt các khái niệm như giải thích / chứng
minh / định nghĩa. . .
 Hãy nhớ rằng các phần khác nhau của một câu hỏi thường có
sự liên kết với nhau (nó thường là điều hiển nhiên trong các câu
hỏi)
 Hãy đưa ra câu trả lời của bạn thật rõ ràng và logic (đừng làm
rối những suy nghĩ đầu tiên bạn có được) – điều này không chỉ
giúp bạn tránh khỏi những lỗi ngớ ngẩn mà còn thể hiện cho
người chấm thấy rằng bạn biết rõ những gì bạn đang làm (nó
rất hiệu quả ngay cả khi bạn không có những ý tưởng mơ hồ về
những điều bạn đang làm).
MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 11
 Nếu bạn cảm thấy bí hãy xác định rõ bạn đang làm gì và tiếp
tục công việc (ở A – level, bạn sẽ không có điểm nếu chỉ đơn
thuần thể hiện ý định của mình nhưng hầu hết những người
chấm thi ở đại học rất khoái những dấu hiệu của sự thông minh
và khéo léo thể hiện trong bài làm của bạn).
8. Ý kiến phản hồi
Bạn sẽ có rất nhiều cơ hội để thể hiện những quan điểm của mình. Hãy sử
dụng chúng, thậm chí ngay cả khi đã quá muộn cho bạn để có được thứ gì đó.
Giảng viên luôn muốn cho bạn những gì tốt nhất có thể và luôn luôn tiếp nhận
những đóng góp mang tính xây dựng về cả nội dung lẫn hình thức. Bạn phải chia
sẻ trách nhiệm.
Giải quyết các vấn đề: một vài vấn đề có thể còn ẩn chứa thứ gì đó sâu xa hơn
MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 12
Trong một khóa học, giảng viên sẽ phát bản thăm dò ý kiến và bạn điền chúng
trong khoảng thời gian ngắn sau mỗi bài giảng. Và cũng có những bản thăm dò ý
kiến điện tử vào cuối năm. Ngoài ra bạn cũng có thể tham gia các buổi giảng dạy
trực tuyến ở địa chỉ website: (hotline@maths.cam.ac.uk); các đường dây nóng sẽ
giải quyết các vấn đề thắc mắc của bạn, hoặc gởi thư của bạn tới những người
liên quan.
Trong tất cả các trường hợp:
 Hãy cố gắng thật cụ thể.
 Hãy đưa ra những lời bình luận mà giảng viên có thể làm việc với chúng.
 Phản đối những lời dụ dỗ khiếm nhã hoặc ranh mãnh.
 Phản đối những sự xúi giục nhằm để bạn đưa ra các lời bình phẩm cá
nhân về bản thân giảng viên hay hình thức của họ.6
 Hãy luôn nghĩ rằng phải mất một khoảng thời gian rất lâu để nghĩ ngợi và
đưa ra những trang ví dụ tham khảo và những phần bổ sung cho bài
giảng.
 Hãy nhớ rằng bạn chỉ cho ý kiến mà thôi: thậm chí bạn ghét cay ghét
đắng khóa học, nhưng vẫn có những người khác yêu thích nó.
 Hãy hiểu rằng một khóa học bạn thấy ngu ngốc hay rời rạc hoặc khó hiểu
thì hoàn toàn có thể trở nên khác biệt nếu bạn chụi khó xem xét lại cẩn
thận.
 Hãy nhớ rằng vẻ bên ngoài của khóa học có thể phụ thuộc vào các vấn đề
cũng như cái cách mà giảng viên chọn để làm sáng tỏ nó.
Những lời bình phẩm sau đây được lấy từ bản câu hỏi trong vài năm gần
đây (xin lưu ý: các giảng viên thay đổi sau khoảng 3 năm). Hãy tự đánh giá xem
cái nào có ích cho bản thân. (và chú ý rằng một số lời bình khiến chúng tôi biết
về sinh viên nhiều hơn là về khóa học hay giảng viên).
Môn Đại số và Hình học, Michaemas 199N, giáo sư X:
1. Mặc dù các giảng viên tất nhiên sẽ thích giảng dạy những
thứ kinh điển hơn bình thường, họ vẫn nên nhớ rằng họ có
thể chưa có đủ khả năng để làm vậy, và có lẽ thử đưa ra
những cách giảng dạy toán học rõ ràng để thay thế thì tốt
hơn. Những bằng chứng đúng đắn sẽ luôn được ủng hộ.
2. Giáo sư X rất tài năng. (xin lưu ý: vẫn giảng viên và khóa
học như trên).
3. Phần mở đầu rất tốt về lý thuyết nhóm, nhưng thầy đi hơi
nhanh một chút.
6 Mặc dù nếu bạn có phát hiện ra một vài “phong cách độc đáo” của thầy hay cô ấy, và có thể là bạn rất
muốn chú ý đến nó. Một ngoại lệ hiếm thấy của quy tắc n ày là khi một giáo sư ở Texas đội một cái mũ cao bồi
trong giờ giảng, một trong những dạng b ình phẩm là “Tất cả toàn là mũ, không có gia súc nào cả”. Điều đó hơi
buồn cười và chắc chắn là không có ác ý.
MATHVN.COM | Mathematics 4 Teachers N’ Students www.mathvn.com
Bài dịch của một độc giả MATHVN.COM Trang 13
4. Khóa học hơi khó lúc ban đầu nhưng thật sự cũng không quá
tệ nếu đọc qua vài lần. Những ghi chú được in ra là một ý
tưởng hay.
5. Phong cách giảng dạy tuyệt vời và nhiều chủ đề thú vị. Tôi
cảm thấy một vài chứng minh hơi dài dòng và thiếu chính
xác.
6. Tôi thấy những ý tưởng trừu tượng rất khó hiểu. Giảng viên
càng làm nó tồi tệ hơn khi sử dụng từ “tầm thường” và chẳng
đưa ra sự giải thích nào cho tới khi nghĩ rằng nó đã đi quá xa
mức tưởng tượng.
Môn toán học cho chương trình tài năng (NST-Natural Science Tripos)7,
Easter 199N, giáo sư S:
1. Các bài giảng Fourier không thể hiểu nổi, mà còn đi từ từ,
chậm chạp sẽ chẳng khác nào giảng viên vô tích sự.
2. Khóa học tuyệt vời, giảng viên xuất sắc. Vậy ông ta có thể
giảng cả khóa học không?
3. Phần ma trận hơi chậm.
4. Buôn chuyện một chút cũng rất thú vị.
5. Giáo sư S thật xuất sắc. Các bài tham khảo thêm rất có ích.
Thỉnh thoảng chữ viết không rõ ràng.
6. Giảng viên dừng lại quá lâu dường như làm tôi mất cả tập
trung.
7. Quá nhiều chứng minh và không đủ ví dụ.
9.Và cuối cùng:
Toán học rất khó. Tuy nhiên nó không khó hơn b ất cứ thứ gì chỉ khó theo
mỗi cách khác nhau. Hầu hết mọi người đều không thể đọc một chương sách
toán học, đợi đến khi kết thúc và hiểu hoàn toàn về những vấn đề cơ bản trong
đó. Điều đó cần phải được làm từ từ từng bước một. Đừng nản chí; chỉ là sự khác
biệt về cách học và không có gì tệ hơn là vượt qua hàng trăm cuốn sách ẩn chứa
đầy mâu thuẫn mà rất nhiều bạn bè của bạn cũng sẽ phải chịu đựng giống bạn.
Và khi bạn đã thành công thì nó sẽ khiến bạn vui sướng hơn (một chút) là khi
bạn chứng minh được một mệnh đề toán hay.
7 Đại học Cambridge có một chương trình dành cho các sinh viên giỏi của ngành khoa học tự nhiên( gọi
là Natural Science Tripos, viết tắt là NST hoặc NatSci). Chương trình này khác hoàn toàn so với hầu hết các
trường đại học khác. Ở đây, sinh vi ên không chỉ học một môn khoa học mà họ nghiên cứu hầu hết các kiến thức
cơ bản và khái quát của nhiều môn khoa học khác nhau trong năm đầu ti ên. Các bạn có thể tìm hiểu thêm tại
http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_Sciences_(Cambridge)